wtorek, 10 września 2013

Matematyka :)

iii znowu   

sprawdzian....


                                          PoChOdNa

Pochodna – w analizie matematycznej miara szybkości zmian wartości funkcji względem zmian jej argumentów.

 

Pochodna funkcji zmiennej rzeczywistej o wartościach rzeczywistych

 

Niech y = f(x)\; będzie funkcją rzeczywistą zmiennej rzeczywistej x określoną w otoczeniu punktu x_0. Pochodną funkcji f(x) w punkcie x_0 nazywamy granicę (o ile istnieje):
\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}
Co symbolicznie zapisuje się w jednej z postaci:
\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{d y}{d x} = \frac{d}{d x} f(x_0) = f'(x_0) = y'(x_0),
We wzorze tym:
  • \Delta x\; jest przyrostem zmiennej niezależnej x,
  • \Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)\; jest przyrostem zmiennej zależnej y,
  • Wyrażenie \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = \frac{\Delta y}{\Delta x} nazywa się ilorazem różnicowym; jest on funkcją przyrostu zmiennej niezależnej.
Jeżeli przyjmie się, że x = x_0 + \Delta x, to pochodną w punkcie x_0 można zapisać następująco:
\lim_{x \to x_0}~\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}.
Często w publikacjach przyrost \Delta x oznacza się literą h. Wtedy pochodna jest równa:
\lim_{h \to 0}~\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}.
Własności funkcji pochodnej 

  • iloczyn pochodnej przez stałą,
(af)'(x) = af'(x)\;
(f + g)'(x) = f'(x) + g'(x)\;;
  • pochodną iloczynu funkcji (reguła Leibniza),
(fg)'(x) = f'(x) g(x) + f(x) g'(x)\;
f'(x) = h'\bigl(g(x)\bigr) g'(x) \quad\text{ dla }\quad f(x) = h(g(x)).
\left(f^{-1}\right)'(y) = \bigl(f'(x)\bigr)^{-1}, \quad\text{ o ile }\quad f'(x) \ne 0.
  • pochodną odwrotności funkcji (reguła odwrotności),
\left(\tfrac{1}{g(x)}\right)' = \frac{-g'(x)}{g^2(x)}, \quad\text{ o ile }\quad g(x) \ne 0
  • pochodną ilorazu funkcji (reguła ilorazu),
\left(\tfrac{f(x)}{g(x)}\right)' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g^2(x)}, \quad\text{ o ile }\quad g(x) \ne 0.

Autor: o

Brak komentarzy:

Prześlij komentarz

Subskrybuj: Komentarze do posta (Atom)